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算法数学之美

日期：2019年1月29日

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来源：算法与数学之美

光栅化

Bresenham's line algorithm [1]：经典的绘画直线算法，后来还可以稍作修改用于绘画圆弧[2]，都不用三角函数或除数，只需用整数加法、减法和乘法。

Perspective-Correct Texture Mapping [3]：透视正确的光栅化纹理贴图算法是1980才出现的。第一代Quake引擎引入后，才开始支持不垂直的墙、不水平的地面天花。

（图片来自维基百科）

Polygon Rasterization with Edge Function [4]：Bresenham算法如果用来画多边形，两个多边形的共边会被重绘。后来发明了使用简单的edge function去解决这个问题，而且适合并行的硬件实现。现在的GPU都是使用这个算法。

全局光照

Precomputed Radiance Transfer (PRT) with Spherical Harmonics（SH）[5]：储存静态环境对于各个方向光源的漫反射数据，可以实现动态低频光源的全局光照效果。这种表示方式非常神奇。Halo 3也使用到这种技术[6]。

Screen-space Ambient Occlusion （SSAO）[7]：Crytek提出的首个屏幕空间环境光遮蔽算法，之后引来大量的研究及改进算法。也有用类似的概念去做近距离的反射，如SSDO[8]。

Light Propagation Volume （LPV）[9]：Crytek提出的首个动态全局光照算法，不需要预计算。但要在体积数据中计算传播，性能较慢，所以之后再优化成 Cascaded LPV [10]。

Voxel Cone Tracing [11]：也是不需要预计算的动态全局光照算法。把场景动态生成层阶式的体素数据（像mipmap那样的pre-filtering），从光源视角计算直接光照，然后逐像素追踪这组数据获取非直接光照。结果比LPV精确，也可以做到光泽反射（glossy reflection）。

阴影

Shadow Volume [12]：阴影体积是1977年发表的阴影技术，在屏幕空间光栅化阴影体积，可准确判断每个屏幕像素是否在阴影之内。可以处理平行光源和点光源的阴影。1991年[13]讲述如何用stencil buffer来实现此算法，适合在图形加速硬件（当时还没有所谓GPU）上使用。但很多人发现，如果摄像机在阴影体积内，就会出错。在1998至2000年有多人发现一种解决方法，需要把John Carmack在2000年的电邮[14]中提及这个想法，后来成为2004年《毁灭战士3（Doom 3）》引擎的重要特徵，因他把这项技术发扬光大，即使他非首个发明人，此项技术通常被称为Carmack's Reverse。

Parallel Split Shadow Map (PSSM) [15][16] / Cascaded Shadow Map（CSM）[17]：虽然Shadow Volume很吸引，但它需要大量的内存频宽，而且通常不能实现软阴影。后来大部分游戏改为使用Shadow Map（阴影贴图），这更适合GPU，并且可以通过多次采样（Percentage Closer Filtering, PCF）来实现软阴影。然而，阴影贴图也有许多问题，例如远近景物都采用同一张纹理，就会令到近景的精度不足，出现锯齿。2006年香港中文大学的博士生Fan Zhang等人发表了一种 PSSM 算法 [15]，为不同距离的场景渲染多张阴影贴图，在采样的时候按距离决定使用那一张。这个方法的变种CSM，在切割上和PSSM有点差异，被广泛使用于现时大部分游戏引擎中。

Variance Shadow Map（VSM）[18]：之前谈到用PCF做软阴影，它的坏处就是要做多次采样。那么可否把阴影贴图直接模糊化来实现软阴影？答案是否定的。但是在2006年有学者发表了VSM，它是一种用统计方式来逼近软阴影的效果。 如何推导方差阴影贴图（variance shadow map, VSM) ? - Milo Yip 的回答

场景管理

Binary Space Partitioning （BSP）

Portal rendering

Quadtree、Octree：游戏场景管理的八叉树算法是怎样的？ - Milo Yip 的回答

Potential Visibility Set （PVS）

Occlusion Culling by Software Rasterization

动画／物理

Particle System

Smoothed Particle Hydrodynamics（SPH）

Curl Noise

Dual Quaternion Skinning

碰撞测试

Hyperplane separation theorem （或称separating axis theorem/SAT）：凸形状相交测试的基本原理。在怎样判断平面上一个矩形和一个圆形是否有重叠？ - Milo Yip 的回答中，其实背后也是使用了SAT。

Gilbert-Johnson-Keerthi distance algorithm (GJK距离算法)：计算两个凸形状的距离（可用于相交测试）

Sweep and prune：用于broad phase碰撞检测，找出物体AABB是否相交。对于时空上连续的物体运动，算法最坏O(n^2)、最好O(n).

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